Ejemplos De Álgebra De Boole

Álgebra de Boole

¿Qué es el Álgebra Booleana?

Es una rama especial del álgebra que se usa principalmente en electrónica digital. El álgebra booleana fue inventada en el año 1854 por el matemático inglés George Boole.

El álgebra de Boole es un método para simplificar los circuitos lógicos (o a veces llamados circuitos de conmutación lógica) en electrónica digital.

Por lo tanto, también se llama como "Cambio de álgebra". Podemos representar el funcionamiento de los circuitos lógicos utilizando números, siguiendo algunas reglas, que son bien conocidas como "Leyes del álgebra de Boole".

También podemos hacer los cálculos y las operaciones lógicas de los circuitos aún más rápido siguiendo algunos teoremas, que se conocen como "Teoremas del álgebra de Boole". Una función booleana es una función que representa la relación entre la entrada y la salida de un circuito lógico.

La lógica booleana solo permite dos estados del circuito, como True y False. Estos dos estados están representados por 1 y 0, donde 1 representa el estado "Verdadero" y 0 representa el estado "Falso".

Lo más importante para recordar en el álgebra de Boole es que es muy diferente al álgebra matemática regular y sus métodos. Antes de aprender sobre el álgebra de Boole, vamos a contar  un poco sobre la historia del álgebra de Boole y su invención y desarrollo.

Leyes e identidades del álgebra booleana

Al formular expresiones matemáticas para circuitos lógicos es importante tener conocimiento del álgebra booleana, que define las reglas para expresar y simplificar enunciados lógicos binarios. Una barra sobre un símbolo indica la operación booleana NOT, que corresponde a la inversión de una señal. 

Leyes fundamentales

OR
A + 0 = A A + 1 = 1 A + A = A A + A = 1

AND
A + 0 = 0 A + 1 = A A + A = A A + A = 0

NOT
A¨ = A
Los dos puntos en la A corresponde a dos barras de negación.

Leyes conmutativas

A + B = B + A A ∙ B = B ∙ A

Leyes asociativas

(A + B) + C = A + (B + C) (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C)

Leyes distributivas

A ∙ (B + C) = (A ∙ B) + (A ∙ C) A + (B ∙ C) = (A + B) ∙ (A + C)

Otras identidades útiles

A + (A ∙ B) = A A ∙ (A +B) = A A + (A ∙ B) = A + B (A + B) ∙ (A + B) = A (A + B) ∙ (A + C) = A + (B ∙ C) A + B + (A ∙ B) = A + B (A ∙ B) + (B ∙ C) + (B ∙ C) = (A ∙ B) + C (A ∙ B) + (A ∙ C) + (B ∙ C) = (A ∙ B) + (B ∙ C)

Ejemplo:

Se va a simplificar la siguiente expresión aplicando las leyes e identidades booleanas mencionadas:

E = (X ∙ Y ∙ Z) + (Y ∙ Z) +(X ∙ Y)

Es posible aplicar la ley asociativa y la ley fundamental de que A ∙ 1 = A:

E = X ∙ (Y ∙ Z) + 1 ∙ (Y ∙ Z) +(X ∙ Y)

Ahora es posible factorizar el termino (Y ∙ Z):

E = (X +1) ∙ (Y ∙ Z) +(X ∙ Y)

Dado que A + 1 = 1 según las leyes fundamentales por lo tanto X + 1 = 1:

E = 1 ∙ (Y ∙ Z) +(X ∙ Y)

Al realizar la operación tendremos ya simplificada la expresión:

E = (Y ∙ Z) +(X ∙ Y)

Aún podemos simplificar la expresión al factorizar Y:

E = Y ∙ (Z +X)

Simplificación de funciones booleanas

Al usar los teoremas y leyes booleanas, podemos simplificar las expresiones booleanas, mediante las cuales podemos reducir el número requerido de compuertas lógicas a implementar. Podemos simplificar la función Boolean utilizando dos métodos:

1. El método algebraico: mediante el uso de identidades (leyes booleanas).
2. El método gráfico: utilizando el método del Mapa de Karnaugh.

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Lógica Proposicional

Lógica Matemática

Lógica Proposicional

1 Lógica proposicional

1.1 El lenguaje de la lógica proposicional

1.1.1 Proposiciones atómicas y proposiciones moleculares

La lógica proposicional trata sobre la verdad o la falsedad de las proposiciones y de cómo la verdad se transmite de unas proposiciones (premisas) a otras (conclusión). Una proposición es la unidad mínima de significado susceptible de ser verdadera o falsa.

Una palabra aislada, por sí misma, no nos dice nada. La palabra "perro" tiene una referencia, pero no nos da ninguna información si no es en el contexto de una proposición como "El perro está haciendo cosas raras". Por ello una palabra, a menos que constituya una proposición, no es verdadera o falsa. Sólo tienen valor de verdad las proposiciones.

Debemos distinguir dos tipos de proposiciones: las proposiciones atómicas y las proposiciones moleculares. Las proposiciones atómicas son aquéllas que no se componen de otras proposiciones. La proposición

Todos los hombres son mortales

es una proposición atómica porque ninguno de sus elementos componentes es una proposición. Como podemos observar, una proposición atómica es verdadera o falsa, y su verdad o falsedad no depende de otras proposiciones, sino de cómo es la realidad. Si hubiera algún hombre inmortal, la proposición del ejemplo sería falsa.

Las proposiciones moleculares son aquéllas que están compuestas por proposiciones atómicas. Un ejemplo de proposición molecular sería:

Voy a comprar pan y a tomar un café

La proposición del ejemplo es molecular porque se compone de dos proposiciones atómicas:

Voy a comprar pan

Voy a tomar un café

Estas dos proposiciones atómicas están conectadas mediante la partícula "y". Una proposición molecular será verdadera o falsa, pero a diferencia de lo que ocurre con las proposiciones atómicas, su verdad o falsedad no depende directamente de la realidad, sino que depende o es función de la verdad o falsedad de las proposiciones atómicas que la componen. Esto significa que si quiero saber si es verdadero o falso que voy a comprar pan y a tomar uncafé, es necesario que conozca la verdad o falsedad de "voy a comprar pan" y de "voy a tomar un café" por separado.

1.1.2 Conectivas lógicas

Las proposiciones atómicas pueden combinarse de diferentes formas para dar lugar a proposiciones moleculares. Los elementos que sirven para conectar las proposiciones atómicas entre sí se llaman conectivas lógicas. Las conectivas lógicas nos dicen cómo afecta el valor de verdad de las proposiciones atómicas al valor de verdad de las proposiciones moleculares. Ya hemos visto que en el lenguaje natural, la conjunción "y" funciona como una conectiva lógica. Así, cuando decimos:

Las flores son plantas y los erizos aves

estamos conectando la proposición atómica "las flores son plantas" con la proposición atómica "los erizos son aves" mediante la conectiva lógica "y". La "y" nos está diciendo que la proposición molecular "Las flores son plantas y los erizos aves" sólo es verdadera si las dos proposiciones atómicas que la componen son ambas verdaderas, y será falsa en caso de que, al menos una de ellas, sea falsa. Como sabemos que los erizos no son aves, podemos concluir que la proposición "Las flores son plantas y los erizos aves" es falsa.

Probemos a cambiar la conectiva lógica del ejemplo, y conectemos las dos proposiciones atómicas del siguiente modo:

Las flores son plantas o los erizos son aves

La disyunción "o" también funciona aquí como una conectiva lógica y nos está diciendo que la proposición molecular "las flores son plantas o los erizos son aves" es verdadera si al menos una de las proposiciones atómicas que la componen es verdadera. Sabemos que los erizos no son aves, pero como las flores sí son plantas, concluimos que la proposición molecular del ejemplo es verdadera.

Como vemos, las conectivas lógicas funcionan como operadores matemáticos. En matemáticas hay símbolos como "+" y "-­-". Decir "1+1" no es lo mismo que decir "1-­-1". Cada operador asigna un valor distinto a la misma combinación de símbolos, de modo que a la primera combinación (1+1) le corresponde el 2 y a la segunda (1-­-1) le corresponde el 0. Del mismo modo, en lógica, a la proposición "Las flores son plantas y los erizos aves" le corresponde el valor de verdad V (verdadero) y a la proposición "Las flores son plantas o los erizos son aves" le corresponde el valor de verdad F (falso).

En el cálculo lógico que nosotros vamos a estudiar, hay cuatro conectivas lógicas. Ya hemos visto dos: la conjunción y la disyunción. Una tercera forma de conectar dos proposiciones atómicas sería:

Si las flores son plantas entonces los erizos son aves

Esta forma de conectar dos proposiciones nos indica que una de ellas es la condición de la otra y por eso la conectiva correspondiente se llama "condicional" o "implicador". La primera proposición (Las flores son plantas) es la condición que se ha de cumplir, y nos referiremos a ella como antecedente; la segunda proposición (los erizos son aves) es lo condicionado, y nos referiremos a este elemento del condicional como consecuente.

En cuarto lugar tenemos la negación que, aplicada a una proposición atómica, simplemente invierte su valor de verdad, de modo que si la proposición atómica

Los erizos son aves

es falsa, entonces la proposición molecular

Los erizos no son aves

será verdadera. Quizá sorprenda que consideremos molecular la proposición "los erizos no son aves", pues que no se compone de dos proposiciones atómicas, sino de una. La razón de que dicha proposición sea molecular y no atómica es que uno de sus elementos componentes (a saber, la proposición "los erizos son aves") es una proposición atómica. Obsérvese que la negación no modifica el significado de la proposición negada, sino únicamente su valor de verdad. Esta falta de significado es un rasgo esencial de las conectivas lógicas.

1.1.3 Símbolos de la lógica proposicional

Como ocurre en otras ciencias, es necesario en lógica utilizar un lenguaje simbólico especial que elimine los rasgos que no nos interesan y pongan de manifiesto los que sí nos interesan. En lógica nos interesa saber cómo están combinadas las proposiciones , y no nos interesa en absoluto su significado. Por ello necesitamos unos símbolos que, prescindiendo del significado de las proposiciones, nos indiquen la forma en que se combinan. Estos símbolos constituyen un lenguaje formal.

En primer lugar, las proposiciones atómicas pueden ser sustituidas por lo que llamaremos variables proposicionales, que serán las letras

p, q, r, s …

La operación consistente en sustituir las expresiones del lenguaje natural por símbolos lógicos se llama formalización. A la proposición debidamente formalizada la llamaremos fórmula. Según lo dicho, la formalización de la proposición atómica

Los erizos son aves

será, simplemente, la fórmula

p

Por su parte, a cada conectiva lógica le corresponde un símbolo, como queda resumido en la siguiente tabla:

Conectiva	Símbolo	Lenguaje natural				Formalización
Conjunción	A	Pepe es bombero y María es camarera				p A q
Diyunción	V	Pepe es bombero o María es camarera				p V q
Implicación	->	Si Pepe es bombero, entonces María es camarera				p -> q
Negación	¬	Pepe no es bombero				¬p

1.2 Sintaxis: Fórmulas bien formadas (fbf)

Todos los lenguajes se componen de unos símbolos y de unas reglas sintácticas que nos indican qué combinaciones de símbolos son correctas y cuáles no lo son. Por ejemplo, en castellano no podemos decir:

Mis amigos y yo voy al cine

La oración del ejemplo está mal formada porque no hay la concordancia debida entre el número del sujeto (plural) y el número del verbo (singular). También en matemáticas hay unas reglas que nos indican qué combinaciones de símbolos podemos hacer, de modo que si nos presentaran lo siguiente:

%=4+(78-)

no sabríamos qué hacer simplemente porque la expresión está mal formada, no respeta las reglas de formación de fórmulas matemáticas. Del mismo modo, cualquier combinación de símbolos lógicos no constituye una fórmula bien formada. Así por ejemplo, no están bien formadas las fórmulas

Ap

vpvq

p-> ¬

etc…

No es difícil descubrir intuitivamente, a partir de ejemplos, qué fórmulas están bien formadas en lógicas y cuáles no, pero no está de más ofrecer las siguientes reglas para la formación de fórmulas bien formadas (fbf):

Regla 1: Toda proposición atómica es una fbf

Regla 2: Si A es una fbf, entonces ¬A también es una fbf

Regla 3: Si A y B son fbf, entonces (A?B), (A?B) y (A?B) también son fbf

1.3 Formalización de proposiciones

A continuación comentaremos algunos ejemplos de formalización. Comenzaremos por unos ejemplos sencillos, que agruparemos en cuatro bloques, según la conectiva lógica usada, y a continuación presentaremos algunos ejemplos más complejos en los que combinaremos varias conectivas.

1.3.1 Formalización de la conjunción

Proposición en lenguaje natural: Los perros son listos y los gatos egoístas. p = los perros son listos

q= los gatos son egoístas

Formalización: p A q (se lee "p y q")

Proposición en lenguaje natural: Estudiaré, pero también veré la tele p = estudiaré

q = veré la tele

Formalización: p A q

Comentario: Aunque en la proposición en lenguaje natural no aparece la partícula "y", si entendemos el sentido de la misma, veremos que lo que nos está diciendo es que estudiaré y veré la tele. El "pero también" es una conjunción, aunque los matices que tiene en el lenguaje natural (digamos que tiene un sentido _adversativo) se pierden al formalizarla.

Proposición en lenguaje natural: Además de comer tarta, beberé sidra. p = comeré tarta

q = beberé sidra

Formalización: p A q

Comentario: Vemos que aquí tampoco aparece la "y", sin embargo la proposición nos está diciendo simplemente que comeré tarta y que beberé sidra. El "además" añade un matiz que no nos interesa desde un punto de vista lógico. A la lógica sólo le interesa en qué condiciones es verdadera o falsa la proposición "Además de comer tarta, beberé sidra", resulta que esa proposición sólo es verdadera si como tarta y bebo sidra. Eso es lo único que ha de quedar reflejado en la formalización.

Proposición en lenguaje natural: Es completamente cierto que voy a asistir a la reunión y que luego me iré de fiesta.

p= voy a asistir a la reunión

q= después de la reunión me iré de fiesta

Formalización: p A q

Comentario: Como vemos, el "es completamente cierto" que aparece en la proposición en lenguaje natural, no vuelve a aparecer. La razón de ello es que no añade nada al significado de las proposiciones atómicas, sino que simplemente sirve para reforzar la idea de que es cierto lo que digo. Pero desde el punto de vista de la lógica de enunciados, la proposición del ejemplo es equivalente a la proposición "voy a asistir a la reunión y luego me iré de fiesta".

Proposición en lenguaje natural: Pedro y María van al cine todos los sábados. p= Pedro va al cine todos los sábados

q = María va al cine todos los sábados

Formalización: p A q

Comentario: Aunque parece que sólo hay una proposición en el ejemplo, hay que advertir que en realidad son dos, pues para que sea verdadera tiene que ser verdad que Pedro va al cine los sábados y que María va al cine los sábados.

1.3.2 Formalización de la disyunción

Proposición en lenguaje natural: Voy al cine o voy al teatro p = voy al cine

q= voy al teatro

Formalización: p v q (se lee "p o q")

Proposición en lenguaje natural: O bien voy al cine, o bien voy al teatro p = voy al cine

q = voy al teatro

Formalización: p v q

Comentario: A veces, cuando nos estamos iniciando en la formalización, puede que tengamos la tentación de formalizar la proposición de este ejemplo del siguiente modo: (v p v q). Esto es un error garrafal, pues, como ya hemos dicho, no se trata de traducir palabra por palabra, sino de expresar la forma lógica de la proposición. En la proposición del ejemplo estamos diciendo que se me plantean dos opciones; una, ir al cine; otra, ir al teatro; y al menos una de ellas debe cumplirse. Esto es una disyunción de toda la vida, por más que la reforcemos con el "O bien… o bien…", por lo tanto se formaliza exactamente igual que la del ejemplo anterior.

1.3.3 Formalización del condicional

Proposición en lenguaje natural: Si Misha es un gato, entonces escupirá bolas de pelo.

p= Misha es un gato

q= Misha escupirá bolas de pelo

Formalización: p -> q (se lee "si p entonces q" ó "p implica q")

Proposición en lenguaje natural: Si vas a la playa, te broncearás. p = vas a la playa

q = te broncearás

Formalización: p -> q

Comentario: Aunque no aparezca literalmente el "entonces", como lo que estamos traduciendo no son las palabras, una por una, sino la forma lógica, es evidente que basta el "si" inicial para indicarnos el condicional.

Proposición en lenguaje natural: Sólo si Misha es un gato, escupirá bolas de pelo p= Misha es un gato

q = Misha escupirá bolas de pelo

Formalización: q -> p

Comentario: Obsérvese que este condicional se formaliza al revés que el del ejemplo anterior. En la proposición "Si Misha es un gato, entonces escupirá bolas de pelo" no excluimos la posibilidad de que otros animales, a parte del gato, escupan bolas de pelo. Misha podría ser un tigre y escupir bolas de pelo. La proposición únicamente afirma que, independientemente de que haya otros animales que escupan bolas de pelo, si Misha es un gato, también lo hará. Ahora bien, si lo que digo es que Solo si Misha es un gato, escupirá bolas de pelo, estoy excluyendo la posibilidad de que otros animales, a parte del gato, escupan bolas de pelo. Para expresar esto formalmente, tengo que invertir el condicional, pues ahora, a diferencia del ejemplo anterior, estoy diciendo que si Misha escupe bolas de pelo entonces es que es un gato. Nótese que esta última proposición no implica que haya gatos que no escupan bolas de pelo.

Proposición en lenguaje natural: Pégame y tendrás tu merecido p = pégame

q = tendrás tu merecido

Formalización: p -> q

Comentario: A veces el lenguaje natural puede confundirnos. En este caso la partícula "y" no funciona como un condicional, pues la proposición no está afirmando que me hayas pegado y que además te haya dando tu merecido. La proposición del ejemplo puede ser verdadera sin que nadie sufra ningún daño, pues tiene un sentido condicional. En realidad está afirmando que si me pegas, entonces tendrás tu merecido.

Proposición en lenguaje natural: Asistir a clase es condición necesaria para aprobar.

p = se asiste a clase q= se aprueba Formalización: q -> p

Comentario: Probablemente la formalización está al revés de lo que esperábamos, pero es correcta. Si digo que algo es una condición necesaria para aprobar, estoy diciendo que es un requisito imprescindible –necesario-­-, pero que no es suficiente para aprobar, es posible que además de asistir a clase haya que hacer algún trabajo, por ejemplo, o aprobar un examen… Esto significa que aunque se cumpla una condición necesaria, no por ello se aprobará, pues puede que no se cumplan otras condiciones necesarias. Lo que está claro es que si no se cumple, aunque se cumplan todas las demás, se suspenderá. En el ejemplo decimos que asistir a clase es condición necesaria para aprobar. Esto no significa

que si asisto a clase entonces apruebo (p -> q), pues es posible que asista a clase

y no apruebe. Lo que significa la proposición es que si he aprobado, entonces

tiene que ser verdad que he asistido a clase.

Proposición en lenguaje natural: Asistir a clase es condición suficiente para aprobar.

p = se asiste a clase q = se aprueba

Formalización: p -> q

Comentario: A diferencia de una condición necesaria, una condición suficiente se basta por sí misma para que el consecuente del condicional sea verdadero. Si digo que estudiar es condición suficiente para aprobar estoy diciendo que basta estudiar para aprobar el curso, o lo que es lo mismo, que si estudio entonces aprobaré el curso. Por lo tanto la formalización correcta es (p?q). Nótese que una condición suficiente no tiene por qué ser también necesaria, pues podría haber otra condición suficiente para aprobar. Podría ser que el profesor dijera que para aprobar basta venir a clase o hacer un trabajo. En ese caso tanto venir a clase como hacer un trabajo serían condiciones suficientes para aprobar, pero no necesarias, pues cualquiera de ellas podría no cumplirse y aprobar, siempre que se cumpla la otra. Por su parte, las condiciones necesarias no tienen tampoco por qué ser suficientes.

Proposición en lenguaje natural: Asistir a clase es condición necesaria y suficiente para aprobar.

p = se asiste a clase q = se aprueba

Formalización: p <--> q (se lee "p coimplica q")

Comentario: Decir que asistir a clase es condición necesaria y suficiente para aprobar significa que basta asistir a clase para aprobar, y que no hay otro modo de aprobar a parte de asistir a clase. En realidad la proposición es equivalente a

afirmar (p->q) y (q->p) simultáneamente. Esto significa que

[(p->q) ? (q->p)] = (p<-->q)

El símbolo "?" sirve para indicar esta doble dirección del condicional y se llama bicondicional. También podría formalizarse con ayuda del bicondicional la proposición

Si estudias y sólo si estudias, aprobarás.

Proposición en lenguaje natural: Te besaré si me prometes amor eterno. p= te besaré

q= me prometes amor eterno

Formalización: q -> p

Comentario: La única dificultad de esta proposición es que para darle más efecto al consecuente, se sitúa en primer lugar, pero es perfectamente equivalente a la proposición "si me prometes amor eterno, entonces te besaré"

1.3.4 Formalización de la negación

Proposición en lenguaje natural: No voy a solucionarte el problema p= voy a solucionarte el problema

Formalización: ¬p

Proposición en lenguaje natural: No es cierto que haya estado en ese cine. p= he estado en ese cine

Formalización: ¬p

Comentario: el "no es cierto que" del ejemplo no es sino una forma reforzada de negar, por lo tanto se formaliza como una simple negación, que es lo que es.

Proposición en lenguaje natural: Ningún hombre puede volar p= algún hombre puede volar

Formalización: ¬p

Comentario: En el ejemplo no aparece expresamente la partícula "no", pero el

"ningún" expresa negación, de modo que la proposición del ejemplo no es sino la negación de la proposición atómica "algún hombre puede volar".

Proposición en lenguaje natural: No hay nada en el cajón p= hay algo en el cajón

Formalización: ¬p

Comentario: No hay que entender el "no hay nada" como una doble negación, que sería equivalente a afirmar, sino como una negación reforzada, por eso la

proposición atómica es "hay algo en el cajón" y la proposición del ejemplo ha de interpretarse como la negación de esa proposición atómica.

1.3.5 Formalizaciones combinando todas las anteriores

Proposición en lenguaje natural: Si estudias y vienes a clase, entonces aprobarás. p= estudias

q= vienes a clase r= aprobarás

Formalización: (p A q) -> r

Comentario: La proposición del ejemplo dice que para aprobar hay que cumplir dos condiciones: asistir a clase y estudiar. Esto significa que tiene que ser verdad que estudias y que vas a clase para que sea verdad que apruebas. Esto se formaliza con ayuda del condicional. Nótese que no es lo mismo "(p A q)-> r" que "p A (q -> r)". El significado de una proposición puede cambiar enormemente según cómo usemos los paréntesis. Aunque existen algunas reglas para simplificar el uso de los paréntesis, de momento es mejor usarlos siempre para evitar ambigüedades.

Proposición en lenguaje natural: No es cierto que vaya a ir a Polonia y que esté engordando.

p = voy a ir a Polonia q = estoy engordando

Formalización: ¬(p A q)

Comentario: Es importante darse cuenta de que en el ejemplo comentado no estoy diciendo que no voy a ir a Polonia y que no estoy engordando. Lo que estoy diciendo es que no es cierto que las dos proposiciones sean verdaderas, pero eso no significa que las dos sean falsas; puede que sea una verdadera y otra falsa. Lo que estoy negando no es cada una de las proposiciones atómicas, sino la conjunción de las dos.

Proposición en lenguaje natural: Ni yo bordo pañuelos ni tú rompes contratos p = yo bordo pañuelos

q = tú rompes contratos

Formalización: ¬p A ¬q

Comentario: A diferencia del ejemplo anterior, en este caso sí estamos negando cada una de las proposiciones atómicas de la conjunción, lo que en lenguaje natural se expresa con el "ni… ni…". Hay que observar que "¬(p ? q)" no significa lo mismo que "¬p A ¬q", como tendremos ocasión de demostrar más tarde.

Proposición en lenguaje natural: Si copias en el examen, no aprobarás y, o bien serás expedientado o bien te quedarás castigado todos los días por la tarde.

p= copias en el examen q = aprobarás

r = serás expedientado

s = te quedarás castigado todos los días por la tarde

Formalización: p -> [¬q A (r v s)]

Comentario: Antes de analizar la estructura de la proposición, conviene advertir que el uso de corchetes ([,]) o de paréntesis ((,)) obedece a razones de claridad expositiva. Simplemente la fórmula se lee más fácilmente si distinguimos los paréntesis más externos de los más internos mediante los corchetes. Quede dicho, no obstante, que pueden usarse sólo paréntesis, si se desea. Ciñéndonos a la proposición del ejemplo, observaremos que nos está advirtiendo de las consecuencias de copiar en el examen, por ello tiene una forma condicional. En efecto, la proposición nos dice que si copias en el examen, entonces te ocurrirá algo. Concretamente te ocurrirán al menos dos cosas, una de ellas la sabemos segura: no aprobarás (¬q). La otra consecuencia, depende, pues hay dos opciones, pues puedes ser expedientado (r) o ser castigado (s) (o las dos cosas) la cuestión es que esa segunda consecuencia todavía no se ha concretado, por eso se expresa como una disyunción. Según lo dicho, si se cumple la condición de copiar en el examen, entonces no aprobarás y ocurrirá alguna de las dos opciones expuestas (serás expedientado o serás castigado).

Proposición en lenguaje natural: No voy a ir a París, pero si voy, me acordaré de ti y de tu madre.

p = voy a París

q = me acordaré de ti

r= me acordaré de tu madre

Formalización: ¬p -> [p A (q -> r)]

Proposición en lenguaje natural: Si vas al cine, entonces, o compras palominas o me envidiarás si tienes hambre.

p = vas al cine

q = compras palomitas r = me envidias

s = tienes hambre

Formalización: p -> [q v (s->r)]

Comentario: La complejidad de esta proposición radica en el hecho de que el consecuente del condicional es una disyunción y uno de los términos de esa disyunción es un condicional, de modo que tenemos un condicional dentro de otro condicional.

Proposición en lenguaje natural: Me quieras o no, tendrás que soportarme p = me quieres

q = tienes que soportarme

Formalización: (p v ¬p) A q

1.4 Tablas de verdad

1.4.1 Tablas de verdad de las conectivas lógicas

Formalizar una proposición es sólo el primer paso. Ahora tenemos que analizar las fórmulas obtenidas en relación con su verdad o la falsedad. El valor de verdad de las proposiciones moleculares depende del valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen y de las conectivas lógicas. Una proposición atómica puede ser verdadera o falsa. Nosotros adoptaremos la convención de referirnos al valor de verdad "Verdadero" con el símbolo "1" y al valor de verdad "Falso" con el símbolo "0". Podemos expresar los posibles valores de verdad de una proposición atómica mediante la siguiente tabla:

p

P

1

0

Esta tabla significa que la proposición atómica "p" (que puede ser cualquier proposición atómica) puede ser verdadera (1) o falsa (2). En realidad no sabemos si es verdadera o falsa, porque eso depende de su significado, que desconocemos. Pero lo que sabemos con toda seguridad es que debe tener uno de esos valores de verdad.

La cosa se complica cuando pretendemos averiguar los posibles valores de verdad de una proposición molecular. En efecto, la proposición molecular

p A q

puede ser verdadera o falsa, pero su verdad o falsedad depende de la verdad o falsedad de p y de q. Así pues, si p es verdadera pero q es falsa, (p A q) será falsa, por ejemplo. A cada combinación de valores de verdad de p y de q, le corresponde un valor de verdad a la proposición compleja. Podemos expresar esto con la siguiente tabla de verdad de la conjunción:

p	q	p A q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Como vemos en la tabla, la fórmula (p A q) sólo es verdadera cuando p es verdadera y q es verdadera, siendo falsa en todos los demás casos. Podemos confeccionar una tabla semejante para todas las conectivas lógicas:

Tabla de verdad de la disyunción

p	q	p A q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Como vemos, la disyunción sólo es falsa en caso de que sus dos términos lo sean, y es verdadera en todos los demás supuestos.

Tabla de verdad del condicional

p	q	p v q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

La tabla de verdad del condicional siempre causa cierta inquietud y, de hecho, ha sido objeto de crítica por parte de muchos lógicos. Nosotros no entraremos en tales disquisiciones y nos conformaremos con comprenderla, lo que ya es bastante. Lo primero que observamos en la tabla del condicional es que sólo es falso en un caso: cuando el antecedente es verdadero y el consecuencia falso. En efecto, supongamos que a principio de curso un profesor dice a sus alumnos:

Si venís a clase entonces aprobaréis

Ahora supongamos que, al final de curso, un determinado alumno, tras asistir religiosamente a todas las clases, suspende. Diremos, en ese caso, que el profesor mintió al principio de curso pues la proposición "si venís a clase entonces aprobaréis" es manifiestamente falsa, pues un alumno ha ido a clase y no ha aprobado.

Lo que sorprende de la tabla de verdad del condicional no es esto, sino los casos que lo hacen verdadero. En el primer caso no parece haber problema, pues si el antecedente es verdadero y también lo es el consecuente, no hay razón para negar el condicional: se ha cumplido la condición y también se ha cumplido lo condicionado.

El segundo caso merece algo más de atención. En efecto, como vemos en la tabla, si el antecedente es falso pero el consecuente es verdadero, el condicional es verdadero. La razón de esto es que el consecuente de un condicional puede ser verdadero independientemente del antecedente. Si es verdad que si Pepito estudia entonces aprueba, eso no excluye que apruebe sin estudiar, pues aun en ese caso seguiría siendo verdad que si hubiera estudiado, aprobaría.

El tercer caso en el que el condicional es verdadero no carece tampoco de interés. Si tanto el antecedente como el consecuente son falsos, el condicional es verdadero. Hay que recordar que un condicional no está describiendo un hecho actualmente existente del mundo, sino que establece una condición y dice que, en el caso de que se cumpliera, ocurriría tal o cual cosa. Que el antecedente y el consecuente sean falsos no excluye que si el antecedentehubiera sido verdadero también lo hubiera sido el consecuente. Si yo no estudio y no apruebo, no por eso es falso que si estudio, entonces apruebo.

Tabla de verdad de la negación

Como hemos visto en apartados anteriores, la negación invierte el valor de verdad de la proposición negada, tal y como se establece en la siguiente tabla:

p	¬p
1	0
0	1

Es decir, que cuando p es verdadera, ¬p es falsa, y cuando p es falsa, ¬p es verdadera.

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